05.Float Arithmetic

溢出

• 阶值上溢
  • 正阶值超过可能的最大允许阶值 11111110 (127)
  • 标记为 ±∞
• 阶值下溢
  • 负阶值小于可能的最小允许阶值 00000001 (-126)
  • 报告为0
• 有效值上溢 (右规)
  • 同符号的两个有效值相加可能导致最高有效位的进位
  • 通过重新对齐来修补
• 有效值下溢 (右规)
  • 在有效值对齐过程中, 可能有数字被移出右端最低位而丢失
  • 需要某种形式的四舍五入

IEEE754标准规定的五种异常

• 无效运算 (结果为NaN)

  • 运算时有一个数是非有限数, 如 : ±∞, ±∞/±∞, 0*±∞等
  • 结果无效, 如 : 0/0, 源操作数为NaN, 一个数对0取余等

• 有限数除以0 (结果为±∞)

• 数太大 (阶上溢, 结果为±∞)

  • 如 : 对于单精度, 阶码 > 1111 1110 (127)

• 数太小 (阶下溢, 结果用非规格化数表示)

  • 如 : 对于单精度, 阶码 < 0000 0001 (-126)
  • IEEE754出现前阶下溢一般为0, 换言之, IEEE754解决了这一问题

• 结果不精确 (舍入时引起)

  • 如 : 1/3不能精确表示为一个浮点数

加法和减法

• 必须确保两个操作数具有相同的指数值(阶)

  

• 计算步骤

  • 检查0: X是否等于0? Y是否等于0?

  • 对齐有效值: 阶码向大值对齐

  • 加或减有效值: X_S ± Y_S (原码加减法)

  • 规格化结果

    

原码加法操作

• 尾数加法示例

  我的理解是：

  

流程图

• 示例

  

  我的理解是

  

上述两处 我的理解 总结: 尾数求补码时, 前面隐藏的那个数也要包括在取反加一的步骤中, 运算结果根据是否进位来判断是否要取结果的补码

乘法和除法

• 计算步骤

  • 检查0: X是否等于0? Y是否等于0?
  • 阶码相加减**(注意移码bias)**
  • 尾数相乘除
  • 规格化结果
    • 同上

乘法操作

• 无论哪个操作数是0, 乘积即为0

• 从阶值的和中减去一个偏移量

• 有效值相乘

• 结果的规格化和舍入处理

  • 规格化可能导致阶值下溢
  • IEEE754标准中, 只有右规
    • 高两位为01则无需处理
    • 高两位为10或11则右规一位

• 示例

  

除法操作

• 检查0

  • 如果除数为0, 则报告出错, 或将结果设为无穷大
  • 如果被除数为0, 则结果是0

• 被除数的阶值减除数的阶值, 加上一个偏移量

• 有效值相除

• 结果规格化和舍入处理

  • 规格化可能导致阶值下溢
  • IEEE754标准中, 只有左规
    • 高两位为01则左规一位
    • 高两位为10或11则无需处理

• 示例

  

精度考虑

附加位

• 寄存器的长度几乎总是大于有效值位长与一个隐含位之和

• 寄存器包含的这些附加位, 也称为保护位

• 保护为用0填充, 用于扩充有效值的右端

​

• IEEE754规定: 中间结果须在右边加2个附加位

  • 保护位(Guard) : 在尾数右边的位, 左规时被移到尾数中
  • 舍入位(Round) : 在保护位右边的位, 作为舍入的依据

舍入

• 对有效值操作的结果通常保存在"更长"的寄存器中

• 当结果转换回浮点格式时, 必须要去掉多余的位

• 就近舍入(默认方式) : 结果被舍入成最近的可表示的数

  • 非中间值: 0舍1入

  • 中间值: 强制结果为偶数

    

• 朝+∞舍入 : 结果朝正无穷大方向向上舍入, 舍入为 Z₁

• 朝-∞舍入 : 结果朝负无穷大方向向下舍入, 舍入为 Z_-1

• 朝0舍入 : 结果朝0舍入, 正数 Z_-1, 负数 Z₁

  

数据类型

舍入示例

IEEE754并不完美